Cours de mécanique Pré-BAC
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I. Modélisation des liaisons :
1. Introduction :
Une liaison entre deux solides a pour fonction :
- De supprimer certains mouvements
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- De transmettre des efforts.
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En général, si on néglige le frottement dans les liaisons, lorsque qu'un mouvement est possible, alors, l'action mécanique (force ou moment) qui correspond est nul.
Selon le type de la liaison, et son orientation, on pourra déterminer des composantes nulles dans le torseur.
Exemple : La ponctuelle d'axe y :
Exemple : La ponctuelle d'axe x :
Attention à l'orientation de la liaison, à chaque fois, il faut adapter.
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Remarques :
Une liaison est entre deux pièces ou deux groupes de pièces.
Pour écrire le torseur d'une liaison (donc les forces et les moments transmissibles par la liaison), on ne regarde que la liaison entre les deux pièces. "On sort la liaison du mécanisme".
Exemple :
2. Comment reconnaît on une liaison ?
Par les formes du contact entre les deux pièces.
Par les mouvements possibles ou nécessaires.
Grâce aux informations données sur le mécanisme.
3. Les différentes liaisons :
1) Liaison encastrement :
- Aspect cinématique :
Aucun mouvement n’est possible entre les deux solides : (Tx=0 ; Ty=0 ; Tz=0 ; Rx=0 ; Ry=0 ; Rz=0)
Elle supprime les 6 degrés de liberté. Une liaison encastrement sert à solidariser deux pièces. On dit que ces deux pièces appartiennent alors au même ensemble cinématique (ils ont les mêmes mouvements) ou à la même classe d’équivalence.
- Efforts transmissibles par la liaison encastrement :
La liaison encastrement peut transmettre tous les efforts existants : Les forces suivant chacun des axes et les moments. A priori, sauf si les calculs nous affirment le contraire, aucun des effort n’est nul.
- Réalisation concrète :
On distingue les liaisons encastrement par leur caractère démontable ou non. On peut réaliser une liaison encastrement par vissage, soudage, rivetage, collage …
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2) Liaison pivot :
- Aspect cinématique :
La liaison pivot est caractérisée par un seul mouvement possible : 1 rotation. Une pivot d’axe x verra sa rotation suivant x autorisée. 5 degrés de libertés sont supprimés.
Les deux solides tournent autour d’un axe. On s’arrange pour que cet axe coïncide avec x, y ou z.
L’axe de rotation est particulier, on dit « Pivot d’axe Ox ».
- Efforts transmissibles par la liaison encastrement :
La liaison pivot peut transmettre tous les efforts sauf le moment porté par l’axe de la rotation.
- Réalisations concrète :
Le mouvement peut être guidé par contact direct pour une liaison peu sollicitée. Si les efforts et/ou les vitesses sont plus importants, ont améliorera la liaison en ajoutant des coussinets autolubrifiants ou par des roulements à billes ou à rouleaux. Il existe même des paliers hydrauliques ou le guidage se fait par un fluide.
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3) Liaison glissière :
- Aspect cinématique :
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Le seul mouvement possible est une translation. Une glissière suivant x à les mouvements définis ci contre. 5 degrés de libertés sont supprimés. Les deux solides coulissent dans une direction. On s’arrange pour que cette direction coïncide avec un axe (x, y ou z), pour notre exemple, c’est l’axe x qui porte |
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- Efforts transmissibles :
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Fx=0 |
Mx¹0 |
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Fy¹0 |
My¹0 |
|
Fz¹0 |
Mz¹0 |
- Réalisations concrète :
Le mouvement peut être guidé par des surfaces planes traitées ou par des systèmes de rouleaux ou de billes (même principe que les roulements à billes).
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4) Liaison pivot glissant :
- Aspect cinématique :
Deux mouvements possibles : 1 translation et 1 rotation de même axe.
4 degrés de libertés sont supprimés.
Les deux solides coulissent et tournent dans une direction.
- Efforts transmissibles :
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Fx=0 |
Mx=0 |
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Fy¹0 |
My¹0 |
|
Fz¹0 |
Mz¹0 |
- Réalisation concrète :
Cette liaison peut être réalisée par un arbre cylindrique de diamètre constant dans une gorge de même diamètre.
L’axe du cylindre est particulier, il passe par le point B (par exemple) et à pour direction x. On dit alors : « pivot glissant d’axe Bx ».
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5) Liaison appui plan :
- Aspect cinématique :
Trois mouvements possibles : 2 translations et 1 rotation.
3 degrés de libertés sont donc supprimés.
Cette liaison est celle d’un cube posé sur une table.
L’axe normal au plan de contact (normal = perpendiculaire) est particulier, on dit « appui plan de normale z ».
- Efforts transmissibles :
Remarque : Les liaisons sont considérées comme parfaites (sans frottement). C’est le modèle mathématique choisi pour toutes les liaisons. Pour l’appui plan, on imagine bien que si le cube (par exemple : un dictionnaire) est posé sur un bureau, celui-ci aura bien de la peine à glisser sur le plan du bureau, il existe bien un effort transmis dans le plan du bureau, par contre, si le cube est un glaçon sur une table en verre, le morceau de glace va glisser beaucoup plus facilement. Dans le premier cas, les frottements sont importants, dans le cas de la glace sur la vitre, les frottements sont très faibles. Pour toutes les liaisons, on estimera que les frottements sont nuls comme s’il s’agissait de pièces en verre et en glace. Cette hypothèse qui permet de simplifier les calculs est malheureusement parfois assez éloignée de la réalité.
- Réalisations concrètes :
Les appuis plan peuvent être réalisé par contact direct entre deux plans, en ajoutant des surfaces planes autolubrifiantes…
Les butées à billes classiques sont parfois considérées comme des appuis plan.
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6) Liaison Rotule :
- Aspect cinématique :
Trois mouvements possibles : 3 rotations.
3 degrés de libertés sont donc supprimés (les trois translations).
- Efforts transmissibles :
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Fx¹0 |
Mx=0 |
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Fy¹0 |
My=0 |
|
Fz¹0 |
Mz=0 |
- Réalisation concrète :
Généralement réalisée par une bille ou une portion de bille logée dans un creux sphérique.
On utilise souvent cette liaison en bout de vérin par exemple. On les trouve aussi dans les directions d’automobiles.
Le centre de
Les roulements à billes sont souvent modélisés par la liaison rotule.
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7) Linéaire annulaire :
- Aspect cinématique :
Quatre mouvements possibles : 1 translation et 3 rotations.
2 degrés de libertés sont supprimés (2 translations).
L’axe de la translation est particulier, on dit « linéaire annulaire d’axe Ox » (si Tx=1).
- Efforts transmissibles :
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Fx=0 |
Mx=0 |
|
Fy¹0 |
My=0 |
|
Fz¹0 |
Mz=0 |
- Réalisation concrète :
C’est une rotule à laquelle on autorise une translation. Une bille glisse dans une gorge cylindrique de même diamètre.
Les roulements à billes peuvent être modélisés par une linéaire annulaire (selon le montage du roulement).
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8) Liaison ponctuelle :
- Aspect cinématique :
Cinq mouvements possibles : 2 translations et 3 rotations. Un seul degré de liberté est supprimé : une translation. Cette translation est donc particulière, c’est la normale au plan de contact : « ponctuelle de normale z ».
- Efforts transmissibles :
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Fx=0 |
Mx=0 |
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Fy=0 |
My=0 |
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Fz¹0 |
Mz=0 |
- Réalisation concrète :
Elle est généralement réalisée par une pointe sur un plan, exemple : crayon sur une feuille de papier.
Certaines liaisons plus complexes ont parfois un comportement qui se rapproche de la ponctelle.
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9) Liaison Linéaire rectiligne :
- Aspect cinématique :
Quatre mouvements possibles : 2 translations et 2 rotations.
- Efforts transmissibles :
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Fx=0 |
Mx=0 |
|
Fy=0 |
My¹0 |
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Fz¹0 |
Mz=0 |
- Réalisation concrète :
Un cube est posé par l’une de ses arêtes sur un plan.
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10) Liaison hélicoïdale :
- Aspect cinématique :
La liaison hélicoïdale est une liaison un peu particulière, elle autorise 2 mouvements : 1 translation et 1 rotation de même axe, comme la pivot glissant, mais ces mouvements sont liés entre eux.
Si on tourne d’un angle a (alpha), on crée obligatoirement une translation donnée par le pas de vis.
On a donc deux mouvements possibles 1 translation et une rotation, exemple mais 1 seul degré de liberté.
5 degrés de libertés sont donc supprimés.
- Efforts transmissibles :
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Fx=Mx´2p/pas |
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Fy¹0 |
My¹0 |
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Fz¹0 |
Mz¹0 |
- Réalisation concrète :
La liaison hélicoïdale est le non donné à la liaison vis / écrou. Le système vis / écrou est la plupart du temps un moyen de fixer les pièces entre elles, de réaliser une encastrement. Cependant, ce système est parfois utilisé pour la transformation d’un mouvement de rotation en mouvement de rotation.
Il existe des systèmes vis / écrou à bille.
4. Petits et grands mouvements, quand les compter comme mouvements :
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Les mouvements petits pour nous, observateur peuvent être importants pour le mécanisme. Si un mouvement de petite amplitude (jeu) a un rôle dans le mécanisme, il faut le compter.  Alésage : trou lisse cylindrique dans une pièce. On considère les pièces parfaitement rigides. |
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- Cas 1 : Le diamètre de l’arbre est un peu inférieur au diamètre de l’alésage :
C’est souvent le cas lorsque l’on veut un ajustement glissant. Même si l’arbre et l’alésage ont des diamètres très voisins (leur diamètre nominal est le même, par exemple f30 mm), pour permettre le glissement, l’arbre est légèrement plus petit.
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a = |
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||
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29.98mm |
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falésage = |
30mm |
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b = |
1000mm |
||
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c= |
? |
Quels sont les mouvements possibles réels de l’arbre par rapport à l’alésage ?
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Pour les translations :
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Translation /x |
Mouvement possible de grande envergure (plusieurs décimètres) |
Tx est non nulle |
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Translation /y |
Mouvement très faible de 0.02mm |
Ty = 0 |
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Translation /z |
Mouvement très faible de 0.02mm |
Tz = 0 |
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Pour les rotations :
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Rotation /x |
Mouvement possible de grande envergure (360°) |
Rx est non nulle |
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Rotation /y |
Mouvement très faible de 0.057° |
Ry est non nulle |
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Rotation /z |
Mouvement très faible de 0.057° |
Rz est non nulle |
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Il est évident que Tx et Rx existent. Ces deux mouvements ne sont pas nuls car ils peuvent être de grande amplitude.
Ry et Rz sont des mouvements de faible amplitude (0.057°), qui nous paraissent négligeables. Cependant, on ne peut pourtant pas estimer qu’ils soient nuls, car même si, pour nous observateur, ce mouvement est faible, la rotation de 0.057° entraîne un déplacement de
En conséquence, cette rotation qui nous apparaît comme tout à fait négligeable ne l’ai pas pour le mécanisme. Or, il faut raisonner à la place du mécanisme.
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Ty et Tz n’ont pas de conséquences de l’ordre du 10ème de millimètre sur le positionnement de l’arbre, seulement une imprécision de
5. Association de liaisons, exemple de la pivot glissant :
Si on veut réaliser une liaison pivot glissant, on peut utiliser un arbre et un alésage. Pour diminuer les rotations parasites il faut un ajustement de diamètres d’arbre et d’alésage très proche. Or, ceci coûte cher.
On peut parfois préférer réaliser la même fonction (une liaison pivot glissant) avec la solution suivante :
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6. les types de contacts :
Les liaisons précédemment définies peuvent être classées aussi selon leur type de contact. Il existe en effet trois type de contact entre deux pièces :
- Le contact ponctuel : Les deux pièces ne se touchent qu’en 1 point (liaison ponctuelle).
- Le contact linéaire : les deux solides se touchent suivant une ligne. (linéaire annulaire ou rectiligne)
- Le contact surfacique : les pièces se touchent suivant un plan, un cylindre, une sphère. Ce type de contact est celui qui, en théorie, peut subir les plus gros efforts.
