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Index de l'article
Cours de mécanique
Modélisation des pièces
Modélisation des actions mécaniques
Analyse des actions appliquées à un vérin
Modélisation des liaisons
PFS
Résolution d'un problème de statique
Ensemble soumis à é forces
3 forces non parallèles
3 forces parallèles
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1. But de la construction mécanique :

L’objectif de la mécanique est de comprendre, analyser et créer des produits technologiques.

 

La mécanique reprends des principes de la physique :

• Le principe de conservation de la quantité de mouvement que l’on appellera PFS ou PFD,
• Le principe de conservation de l’énergie
• Principe de conservation de la matière
• …

La mécanique utilise l’outil mathématique : les vecteurs essentiellement.

La mécanique étudie des systèmes réels : bras de robot, pièce mécanique …

Généralement, une étude mécanique d’un système se résume à évaluer les efforts dans les pièces pour vérifier la solidité du mécanisme ou alors, à déterminer les vitesses de points.

2. Les actions mécaniques et  leurs effets :

Les systèmes sont soumis à des actions mécaniques :

• Les forces qui tendent à faire translater.
• Les moments qui tendent à faire tourner.

Ces actions mécaniques agissent sur les pièces et se répartissent dans la matière sous forme de contraintes.

Les contraintes déforment les pièces et peuvent entraîner la rupture du matériau.

3. La modélisation :

Le problème est d’appliquer à des pièces réelles les idées, les principes de la physique pour obtenir des résultats sous forme de nombres. Pour obtenir des nombres, il faut travailler avec des nombre, or, les systèmes réels sont tout sauf des nombres.

Il faut donc trouver une image mathématique (appelée « modèle ») des pièces réelles, des liaisons… mais aussi écrire sous forme mathématique les principes physiques.

 

 

 

Le passage du système réel à une image mathématique du système est la modélisation.

Il faut créer un modèle (mathématique) qui représente les pièces (exemple pour un ressort, son comportement peut être représenté par une fonction mathématique : Force = raideur × déplacement :  F = k ´ x).

Il faut créer un modèle (mathématique) qui représente les liaisons entre ces pièces.

Il faut créer un modèle (mathématique) qui représente les efforts appliqués au système.

4. Les hypothèses :

Les mécanismes réels sont très complexes :

• Leurs états de surfaces sont inconstants
• leurs dimensions précises sont mal connues
• les matériaux ne sont pas homogènes
• les actions mécaniques sont difficiles à évaluer.
• … une quantité de facteurs influent sur leur comportement.

Evaluer, par le calcul, un effort dans un mécanisme est un jeu très difficile.

Le mécanicien commence donc par poser des hypothèses simplificatrices sur le mécanisme. Ces hypothèses permettront de simplifier, ou tout au moins de pouvoir faire, les calculs et d’obtenir des résultats. Il faut bien comprendre donc qu’en mécanique, tout résultats est donc forcément entaché d'incertitudes. Les hypothèses nous éloignent de ce que l’on cherche mais sont nécessaires. Les résultats avec 5 ou 6 chiffres significatifs n’ont pas de sens.

L’objectif est de poser les hypothèses les plus proches de la réalité et d’évaluer l’imprécision du résultat.

1)    Exemple d'incertitude sur une pièce :

 

2)    Les limites des principaux matériaux :

Matériaux	Limite d'élasticité	Module d'élasticité	Masse volumique
	N/m²	N/m²	Kg/m3
Acier	2.75.108	20.1010	7920
Acier Allié	6.2.108	21.1010	7700
Aluminium 7050	4.7.108	7.2.1010	2830
Aluminium 2018	3.2.108	7.4.1010	2800
Aluminium 1060	0.3.108	6.9.1010	2700
ABS		0.2.1010	1020
POM	0.6.108	0.26.1010	1390
Nylon	0.69.108	0.8.1010	1400
Céramiques-porcelaine		22.1.1010	2300

 

I. Modélisation des pièces :

1. Les solides :

Hypothèse : Les solides sont considérés comme des pièces « parfaites » (indéformables, homogènes…). On estimera qu’ils ne s’allongent pas. Comment cela peut-il s’écrire mathématiquement ? Si les pièces ne se déforment pas, les distances sont conservées. Si on associe un repère à chaque pièce, les coordonnées des points sont conservées par rapport à ce repère. Mathématiquement cela se traduit par la conservation des vecteurs position dans le temps (OM=OM). Mais, mathématiquement, cette égalité n’apporte rien. L’écriture de l’indéformabilité des pièces est donc implicite.

  

En 1^ère et T^ale, toutes les pièces de nos mécanismes seront considérées comme des solides indéformables, ou pièces parfaites (Sauf pour le chapitre de RDM). Cette approximation simplifiera toujours la résolution de nos problèmes.

2. Cas des pièces qui ne peuvent être considérées comme parfaites :

Il s’agit essentiellement des ressorts dont la fonction est de créer un effort dépendant d’une déformation. Pour les ressorts linéaires, on peut lier l’effort  « F » produit au déplacement « x »  par la relation : F = k ´ x où « k » est la raideur du ressort en N/m Le modèle mathématique d’un ressort est donc l’équation «F = k ´ x ».

 

 

3. Cas de la prise en compte de l’élasticité des pièces :

Les pièces constituant les mécanismes (même métalliques) se déforment elles aussi sous les efforts qu’elles subissent. Ces déformations sont cependant très petites et seront négligées dans nos travaux. Si on veut tenir compte de ces déformations, il existe des équations représentatives des comportements des matériaux (loi de Hook). Dans des cas simples, le problème peut être résolu. Dans d’autres cas, on utilisera  l’outils informatique comme ci contre (logiciels de calculs de RDM). La méthode sera de faire une analyse des efforts sans tenir compte des déformations, puis, dans un second temps, chacune des pièces dont on veut connaître les déformations sera étudiée indépendament.

 

4. En résumé :

Les pièces sont des solides indéformables.

Pour le moment, ceci ne s’écrit pas..

 

Notons qu’il existera des exceptions : les ressorts.

Ces pièces associent une force à un déplacement elles ne peuvent être considérées comme indéformables.

5. Analyse des actions mécaniques appliquées a la tige d'un vérin :

1)    Actions réelles :

 

2)    Modélisation de ces actions :

 

 

Les actions mécaniques sont modélisées par des forces et des moments exprimés en des points particulier :

• Centre de gravité pour le poids
• Centre de la surface de contact avec l'air.
• Centre de la liaison

 

I. Modélisation des liaisons :

1. Introduction :

Une liaison entre deux solides a pour fonction :

• De supprimer certains mouvements

 

 

 

• De transmettre des efforts.

 

 

 

 

En général, si on néglige le frottement dans les liaisons, lorsque qu'un mouvement est possible, alors, l'action mécanique (force ou moment) qui correspond est nul.

Selon le type de la liaison, et son orientation,  on pourra déterminer des composantes nulles dans le torseur.

Exemple : La ponctuelle d'axe y :

 Exemple : La ponctuelle d'axe x :

 

Attention à l'orientation de la liaison, à chaque fois, il faut adapter.

 

Remarques :

Une liaison est entre deux pièces ou deux groupes de pièces.

Pour écrire le torseur d'une liaison (donc les forces et les moments transmissibles par la liaison), on ne regarde que la liaison entre les deux pièces. "On sort la liaison du mécanisme".

Exemple :

2. Comment reconnaît on une liaison ?

Par les formes du contact entre les deux pièces.

Par les mouvements possibles ou nécessaires.

Grâce aux informations données sur le mécanisme.

3. Les différentes liaisons :

1)    Liaison encastrement :

• Aspect cinématique :

Aucun mouvement n’est possible entre les deux solides : (Tx=0 ; Ty=0 ; Tz=0 ; Rx=0 ; Ry=0 ; Rz=0)

Elle supprime les 6 degrés de liberté. Une liaison encastrement sert à solidariser deux pièces. On dit que ces deux pièces appartiennent alors au même ensemble cinématique (ils ont les mêmes mouvements) ou à la même classe d’équivalence.

• Efforts transmissibles par la liaison encastrement :

La liaison encastrement peut transmettre tous les efforts existants : Les forces suivant chacun des axes et les moments. A priori, sauf si les calculs nous affirment le contraire, aucun des effort n’est nul.

• Réalisation concrète :

On distingue les liaisons encastrement par leur caractère démontable ou non. On peut réaliser une liaison encastrement par vissage, soudage, rivetage, collage …

 

2)    Liaison pivot :

• Aspect cinématique :

La liaison pivot est caractérisée par un seul mouvement possible : 1 rotation. Une pivot d’axe x verra sa rotation suivant x autorisée. 5 degrés de libertés sont supprimés.

Les deux solides tournent autour d’un axe. On s’arrange pour que cet axe coïncide avec x, y ou z.

L’axe de rotation est particulier, on dit « Pivot d’axe Ox ».

• Efforts transmissibles par la liaison encastrement :

La liaison pivot peut transmettre tous les efforts sauf le moment porté par l’axe de la rotation.

• Réalisations concrète :

Le mouvement peut être guidé par contact direct pour une liaison peu sollicitée. Si les efforts et/ou les vitesses sont plus importants, ont améliorera la liaison en ajoutant des coussinets autolubrifiants ou par des roulements à billes ou à rouleaux. Il existe même des paliers hydrauliques ou le guidage se fait par un fluide.

 

3)    Liaison glissière :

• Aspect cinématique :

Le seul mouvement possible est une translation. Une glissière suivant x à les mouvements définis ci contre. 5 degrés de libertés sont supprimés. Les deux solides coulissent dans une direction. On s’arrange pour que cette direction coïncide avec un axe (x, y ou z), pour notre exemple, c’est l’axe x qui porte la translation. On dit « glissière d’axe x ».

 

• Efforts transmissibles :

Fx=0	Mx¹0
Fy¹0	My¹0
Fz¹0	Mz¹0

• Réalisations concrète :

Le mouvement peut être guidé par des surfaces planes traitées ou par des systèmes de rouleaux ou de billes (même principe que les roulements à billes).

 

4)    Liaison pivot glissant :

• Aspect cinématique :

Deux mouvements possibles : 1 translation et 1 rotation de même axe.

4 degrés de libertés sont supprimés.

Les deux solides coulissent et tournent dans une direction.

• Efforts transmissibles :

Fx=0	Mx=0
Fy¹0	My¹0
Fz¹0	Mz¹0

• Réalisation concrète :

Cette liaison peut être réalisée par un arbre cylindrique de diamètre constant dans une gorge de même diamètre.

L’axe du cylindre est particulier, il passe par le point B (par exemple) et à pour direction x. On dit alors : « pivot glissant d’axe Bx ».

 

5)    Liaison appui plan :

• Aspect cinématique :

Trois mouvements possibles : 2 translations et 1 rotation.

3 degrés de libertés sont donc supprimés.

Cette liaison est celle d’un cube posé sur une table.

L’axe normal au plan de contact (normal = perpendiculaire) est particulier, on dit « appui plan de normale z ».

• Efforts transmissibles :

Remarque : Les liaisons sont considérées comme parfaites (sans frottement). C’est le modèle mathématique choisi pour toutes les liaisons. Pour l’appui plan, on imagine bien que si le cube (par exemple : un dictionnaire) est posé sur un bureau, celui-ci aura bien de la peine à glisser sur le plan du bureau, il existe bien un effort transmis dans le plan du bureau, par contre, si le cube est un glaçon sur une table en verre, le morceau de glace va glisser beaucoup plus facilement. Dans le premier cas, les frottements sont importants, dans le cas de la glace sur la vitre, les frottements sont très faibles. Pour toutes les liaisons, on estimera que les frottements sont nuls comme s’il s’agissait de pièces en verre et en glace. Cette hypothèse qui permet de simplifier les calculs est malheureusement parfois assez éloignée de la réalité.

• Réalisations concrètes :

Les appuis plan peuvent être réalisé par contact direct entre deux plans, en ajoutant des surfaces planes autolubrifiantes…

Les butées à billes classiques sont parfois considérées comme des appuis plan.

 

6)    Liaison Rotule :

• Aspect cinématique :

Trois mouvements possibles : 3 rotations.

3 degrés de libertés sont donc supprimés (les trois translations).

• Efforts transmissibles :

Fx¹0	Mx=0
Fy¹0	My=0
Fz¹0	Mz=0

• Réalisation concrète :

Généralement réalisée par une bille ou une portion de bille logée dans un creux sphérique.

On utilise souvent cette liaison en bout de vérin par exemple. On les trouve aussi dans les directions d’automobiles.

Le centre de la bille A est un point particulier, on dit : « rotule en A ».

Les roulements à billes sont souvent modélisés par la liaison rotule.

 

7)    Linéaire annulaire :

• Aspect cinématique :

Quatre mouvements possibles : 1 translation et 3 rotations.

2 degrés de libertés sont supprimés (2 translations).

L’axe de la translation est particulier, on dit « linéaire annulaire d’axe Ox » (si Tx=1).

• Efforts transmissibles :

Fx=0	Mx=0
Fy¹0	My=0
Fz¹0	Mz=0

• Réalisation concrète :

C’est une rotule à laquelle on autorise une translation. Une bille glisse dans une gorge cylindrique de même diamètre.

Les roulements à billes peuvent être modélisés par une linéaire annulaire (selon le montage du roulement).

 

8)    Liaison ponctuelle :

• Aspect cinématique :

Cinq mouvements possibles : 2 translations et 3 rotations. Un seul degré de liberté  est supprimé : une translation. Cette translation est donc particulière, c’est la normale au plan de contact : « ponctuelle de normale z ».

• Efforts transmissibles :

Fx=0	Mx=0
Fy=0	My=0
Fz¹0	Mz=0

• Réalisation concrète :

Elle est généralement réalisée par une pointe sur un plan, exemple : crayon sur une feuille de papier.

Certaines liaisons plus complexes ont parfois un comportement qui se rapproche de la ponctelle.

 

9)    Liaison Linéaire rectiligne :

• Aspect cinématique :

Quatre mouvements possibles : 2 translations et 2 rotations.

• Efforts transmissibles :

Fx=0	Mx=0
Fy=0	My¹0
Fz¹0	Mz=0

• Réalisation concrète :

Un cube est posé par l’une de ses arêtes sur un plan.

 

10) Liaison hélicoïdale :

• Aspect cinématique :

La liaison hélicoïdale est une liaison un peu particulière, elle autorise 2 mouvements : 1 translation et 1 rotation de même axe, comme la pivot glissant, mais ces mouvements sont liés entre eux.

Si on tourne d’un angle a (alpha), on crée obligatoirement une translation donnée par le pas de vis.

On a donc deux mouvements possibles 1 translation et une rotation, exemple mais 1 seul degré de liberté.

5 degrés de libertés sont donc supprimés.

• Efforts transmissibles :

Fx=Mx´2p/pas
Fy¹0	My¹0
Fz¹0	Mz¹0

• Réalisation concrète :

La liaison hélicoïdale est le non donné à la liaison vis / écrou. Le système vis / écrou est la plupart du temps un moyen de fixer les pièces entre elles, de réaliser une encastrement. Cependant, ce système est parfois utilisé pour la transformation d’un mouvement de rotation en mouvement de rotation.

Il existe des systèmes vis / écrou à bille.

4. Petits et grands mouvements, quand les compter comme mouvements :

Les mouvements petits pour nous, observateur peuvent être importants pour le mécanisme. Si un mouvement de petite amplitude (jeu) a un rôle dans le mécanisme, il faut le compter.   Alésage : trou lisse cylindrique dans une pièce.       On considère les pièces parfaitement rigides.

 

• Cas 1 : Le diamètre de l’arbre est un peu inférieur au diamètre de l’alésage :

C’est souvent le cas lorsque l’on veut un ajustement glissant. Même si l’arbre et l’alésage ont des diamètres très voisins (leur diamètre nominal est le même, par exemple f30 mm), pour permettre le glissement, l’arbre est légèrement plus petit.

a =	20 mm
D’après le calcul (Thalès) : c = (30-29.98)´1000/20=1mm soit un angle de 0.057° farbre =	29.98mm
falésage =	30mm
b =	1000mm
c=	?

Quels sont les mouvements possibles réels de l’arbre par rapport à l’alésage ?

 

Pour les translations :

Translation /x	Mouvement possible de grande envergure (plusieurs décimètres)	Tx est non nulle
Translation /y	Mouvement très faible de 0.02mm	Ty = 0
Translation /z	Mouvement très faible de 0.02mm	Tz = 0

 

Pour les rotations :

Rotation /x	Mouvement possible de grande envergure (360°)	Rx est non nulle
Rotation /y	Mouvement très faible de 0.057°	Ry est non nulle
Rotation /z	Mouvement très faible de 0.057°	Rz est non nulle

 

Il est évident que Tx et Rx existent. Ces deux mouvements ne sont pas nuls car ils peuvent être de grande amplitude.

Ry et Rz sont des mouvements de faible amplitude (0.057°), qui nous paraissent négligeables. Cependant, on ne peut pourtant pas estimer qu’ils soient nuls, car même si, pour nous observateur, ce mouvement est faible, la rotation de 0.057° entraîne un déplacement de 1 millimètre en bout d’arbre. Or 1 millimètre ne peut être négligé par rapport à la précision de fabrication du mécanisme (de l’ordre du 10^ème de millimètre).

En conséquence, cette rotation qui nous apparaît comme tout à fait négligeable ne l’ai pas pour le mécanisme. Or, il faut raisonner à la place du mécanisme.

 

Ty et Tz n’ont pas de conséquences de l’ordre du 10^ème de millimètre sur le positionnement de l’arbre, seulement une imprécision de 0.02 millimètre. Ils seront donc considérés comme inexistants.

5. Association de liaisons, exemple de la pivot glissant :

Si on veut réaliser une liaison pivot glissant, on peut utiliser un arbre et un alésage. Pour diminuer les rotations parasites il faut un ajustement de diamètres d’arbre et d’alésage très proche. Or, ceci coûte cher.

On peut parfois préférer réaliser la même fonction (une liaison pivot glissant) avec la solution suivante :

 

			La liaison globale arbre / alésages est une pivot glissant réalisée avec 2 linéaires annulaires. Une solution qui peut être plus avantageuse pour le même résultat.

 

6. les types de contacts :

Les liaisons précédemment définies peuvent être classées aussi selon leur type de contact. Il existe en effet trois type de contact entre deux pièces :

• Le contact ponctuel : Les deux pièces ne se touchent qu’en 1 point (liaison ponctuelle).
• Le contact linéaire : les deux solides se touchent suivant une ligne. (linéaire annulaire ou rectiligne)
• Le contact surfacique : les pièces se touchent suivant un plan, un cylindre, une sphère. Ce type de contact est celui qui, en théorie, peut subir les plus gros efforts.

I. Principe fondamental de la statique (PFS) :

1. Conditions d’application (hypothèses):

On étudie un solide ou un ensemble de solides immobile dans un repère Galiléen, ou éventuellement en mouvement de translation à vitesse constante.

Le système (le solide ou l’ensemble de solide) est soumis à des actions mécaniques provenant :

• De forces
• De moments
• D’autres pièces par l’intermédiaire de liaisons.

2. Enoncé du PFS :

Si le système est en équilibre, alors, la somme des actions mécaniques appliqués au système est nulle.

 

 

 

Rappel important :

Pour faire la somme de tous les moments, il faut qu’ils soient tous exprimés en 1 même point.

Remarque importante :

La somme des moments peut être faite en n’importe quel point de S ou extérieur à S. On peut appliquer le PFS en tout point.

 

Le PFS sous-entend que la somme des forces et la somme des moments appliqués à un système en équilibre est nulle :

3. Théorème de la résultante :

Le PFS sous-entend que la somme des forces (ou résultantes) appliquées à un système en équilibre est nulle :

ΣR_S/S= 0

 

Quand utiliser ce théorème ?

Lorsque le problème ne nécessite pas de calculer la somme des moments pour se résoudre. Les calculs sont donc simplifiés.

4. Théorème du moment résultant :

Le PFS sous-entend que la somme des moments appliquée à un système en équilibre est nulle :

ΣM_{(en P) S/S} = 0

Quand utiliser ce théorème ?

Lorsque le problème ne nécessite pas de calculer la somme des résultantes pour se résoudre.

 

I. Résolution d’un problème de statique :

1. Définition du problème :

Un système est en équilibre. Des actions mécaniques lui sont appliquées :

• Des forces ponctuelles
• Des moments
• Des pressions sur certaines de ses surfaces…

Toutes ces actions mécaniques peuvent être modélisées par des vecteurs forces et des vecteurs moments.

Certaines de ces actions mécaniques sont parfaitement connues. D’autres sont inconnues (totalement ou partiellement).

Les actions mécaniques inconnues forment « n » inconnues.

L’objectif est de déterminer ces « n » inconnues en créant un système de n équations.

Des équations peuvent être fournies dans le problème. Mais si cela ne suffit pas, l’utilisation du PFS ou des théorèmes en découlant (Théorème de la résultante ou du moment résultant) va donner des équations : en général, 6 équations par système isolé.

2. Isolement d’un système :

Tout système en équilibre a la somme des forces qui lui sont appliquées et la somme des moments égale à zéro.

On peut donc isoler :

• Un solide : une pièce mécanique
• Un ensemble de solides : tout un mécanisme ou une partie d’un mécanisme.
• Une partie seulement d’un solide, on considère que la partie isolée est encastrée avec l’autre partie
• Un fluide statique
• Une portion de fluide…

Isoler c’est tracer une frontière. L’intérieur de la frontière est le système isolé. Il doit être en équilibre. On ne retient, de l’extérieur de la frontière, que les actions mécaniques s’appliquant au système isolé.

Pour faciliter la résolution, la frontière doit être franchie par l’action mécanique inconnue et par des actions mécaniques connues.

3. Démarche à suivre, isolement d’un système :

1)    Définition de l’isolement :

On défini la frontière judicieusement pour obtenir le résultat voulu le plus rapidement possible. Cette étape s’écrit généralement très simplement en « titre » des suivantes : Isolement du solide 3.

2)    Inventaire des actions mécaniques appliquées au système :

On fait la liste de toutes les actions mécaniques qui s’appliquent au système étudié. En même temps on écrit sous forme de vecteur ces actions mécaniques, c’est la modélisation des actions mécaniques. Il est important de n’oublier aucune action mécanique. Il faut rappeler le point d’application de chaque action mécanique

Exemple : En A, force F_A =

F_A est partiellement connu, sa composante suivant l’axe z est inconnue.

3)    Calcul des moments en 1 même point :

Pour faire la somme des moments, il faut qu’ils soient tous calculés au même point. Mathématiquement, ce point peut être quelconque, on choisira celui qui simplifie les calculs.

Il faut reprendre chacune des forces de l’inventaire et calculer son moment au point choisi.

On fait ainsi l’inventaire des actions mécaniques (forces et moments)exprimées au même point.

 

4)    Application du PFS :

On obtient 6 équations.

Soit le système peut se résoudre (6 inconnues), soit, il faut isoler une autre pièce pour obtenir d’autres équations. Ce nouvel isolement doit utiliser le principe de l’action et de la réaction pour réduire le nombre d’inconnues.

 

Remarque : Parfois, des problèmes réels ne peuvent pas se résoudre, on dit qu’ils sont hyperstatiques. Les problèmes qu’on vous proposera ne seront normalement pas hyperstatiques (on dit isostatique).

4. Principe de l’action et de la réaction : (voir l'article sur les principes pages 6)

F_2/1 =  -F_1/2

M_{(en P) 2/1} = -M_{(en P) 1/2}

5. Les problèmes plans : (O, x, y)

La majorité des problèmes rencontrés peuvent être ramenés à des problèmes plans et on peut donc ainsi simplifier les calculs.

On reconnaît un problème plan si :

• Le mécanisme peut être schématisé dans un plan. (O,x ,y)
• Toutes les actions mécaniques connues sont du type

Forces suivant x et y (forces/z nulles)

Moment suivant z.

 

Alors, pour un problème plan (O x ,y), les actions mécaniques inconnues ont forcément

F_Z=0

M_x=0

M_y=0

• Portées par la droite (AB)
• F_A = - F_B

I. Solide soumis à trois forces non parallèles :

1)    Règle générale :

                                                   

Un solide soumis à seulement trois forces non parallèles a ses forces :

• Portées par des droites concourantes : pour respecter S M = 0
• Formant un triangle fermé : pour respecter S F = 0

 

2)    Pourquoi les forces sont portées par des droites concourantes :

La somme des forces est bien respectée dans ce cas. Le solide peut être en équilibre de ce point de vue.

La droite qui porte F_A et la droite qui porte F_B se coupent en P.

Or, le moment de F_A en P est nul (F_A ne tend pas à faire tourner le solide autour de P puisque P est dans l’alignement de F_A).                                                     M_{(en P) Fa} = 0

De même, le moment de F_B en P est nul.                               M_{(en P) Fb} = 0

Mais, le moment de F_C en P est :                                           M_{(en P) Fc} = + ½½F_C½½ . d . z ¹ 0

En P, comme en tout autre point (mais cela est plus évident en P), la somme des moments doit être nulle :

M_{(en P) Fc} + M_{(en P) Fa} + M_{(en P) Fb} = 0

+ ½½F_C½½ . d . z + 0+ 0 = 0 ce qui est impossible, les forces doivent être concourantes.

 

3)    Résolution :

La résolution peut se faire (et se fera généralement) graphiquement.

• Trouver le point de concours (SM=0), on en déduit les directions des forces.
• Tracer le triangle des forces (SF=0), on en déduit les normes et les sens des forces.

 

 

I.  Solide soumis à trois forces parallèles :

 

                   

 

Pour un problème plan comme celui-ci, on a deux équations qui nous permettent de trouver deux inconnues : les normes de F_A et F_B par exemple.