Ruedessapins

La loi de Hooke :

Les matériaux se déforment lorsqu'ils sont soumis aux efforts. Certains sont plus raides que d'autres. Certains sont plus cassants ... Chaque matériau a ses limites qu'il faudra identifier. La question est : "peut on écrire une loi de comportement qui représente tous les matériaux ?" C'est l'objectif de la loi de hooke.

Attention, les matériaux ont grosso modo tous 2 phases de comportement sous l'effort :

• La phase élastique : ils se comportent comme un élastique , leur déformation est proportionnelle à l'effort (relation linéaire : ça se décrit par une droite passant par l'origine) et lorsque l'on arrète l'effort, le matériau revien à sa position initiale.
• La phase plastique : il n'y a plus de comportement linéaire déformation-effort. C'est en approchant du point de rupture du matériau.

On utilisera les matériaux dans leur phase élastique (presque toujours) et la loi devra représenter cela (tant mieux, c'est plus simple).

Pour le cas le plus simple d'une traction ou d'un compression sur une barre en matériau isotrope (même comportement dans toutes les directions), la loi de Hooke est donc :

σ = E × ε

Avec :

• σ (sigma): la contrainte en N/m² : c'est en fait l'effort subit en interne par le matériau mais ramené à l'unité de surface pour pouvoir généraliser
• E : la raideur du matériau : le module de Young en Pa ou N/m²
• ε (epsilon): le tau de déformation, d'allongement par rapport à la valeur initiale (sans unité).  ε = (L₀-L)/L₀ 

 Bon, mais ce serait trop simple !!!

Loi de Hooke généralisée :

Lorsque l'on tire sur une barre, elle s'allonge et c'est ce qui est décrit juste au dessus par la loi de Hooke, mais sa section diminue aussi. Alors, si on laisse cette section diminuer librement (aucune contraite "radiale" ou latérale) on utilisera bien la loi écrite dessus, mais dans les cas contraires, la loi est plus compliquée.

La diminution de la dimension "latérale" par rapport à l'allongement "axial" est ce que l'on appelle le coefficient de poisson "ν". Il dépend des matériaux.

ε_x = (1/E) × [σ_x - ν (σ_y+σ_z)]

C'est souvent plutôt écrit avec les notations suivantes car on utilisera les présentations mathématiques matricielles.

ε₁₁ = (1/E) × [σ₁₁ - ν (σ₂₂+σ₃₃)]

L'allongement ε est proportionnel à la contrainte du même axe diminuée des résistances latérales où intervient le coefficient de poisson. On retrouve l'équation de Hooke non généralisée lorsque Ïƒ₂₂+σ₃₃ sont nulles car les bords laissés libres.

Cette équation est donc vrai pour les directions x, y ou z si le matériau est isotrope.

Ceci s'ajoute à la relation :

 Îµ_latérale = ( 1 + ν ) / E  Ã— σ_latérale

ε₁₂ = ( 1 + ν ) / E  Ã— σ₁₂

Comme il a été dit, cela vaut pour un matériau isotrope (comportement identique quelque soit la direction) comme les métaux, les plastiques... mais pas pour les composites tels que les fibres de carbones.